NCERT Class 10 Math Chapter 4 Important Question Answer in Hindi - द्विघात समीकरण

Class	10
Chapter	द्विघात समीकरण
Subject	गणित
Category	Important Questions

Class 10 Math Chapter 4 Important Question Answer in Hindi

प्रश्न 1. गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण $\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Ans –

$\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=\sqrt{2}{{x}^{2}}+2x+5x+5\sqrt{2}$

= $\displaystyle \sqrt{2}x(x+\sqrt{2})+5(x+\sqrt{2})$

= $\displaystyle (\sqrt{2}x+5)(x+\sqrt{2})$

तो, समीकरण के मूल x के मान हैं जिसके लिए

$\displaystyle (\sqrt{2}x+5)(x+\sqrt{2})$ = 0

अब, $\displaystyle \sqrt{2}x+5=0$

x = $\displaystyle -\frac{5}{{\sqrt{2}}}$

और $\displaystyle x+\sqrt{2}=0$

x = $\displaystyle -\sqrt{2}$

इसलिए, $\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0$ के मूल $\displaystyle -\frac{5}{{\sqrt{2}}}$ और $\displaystyle -\sqrt{2}$ है।

प्रश्न 2. द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में k का मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हो।

Ans –

जब विविक्तकर (discriminant) शून्य के बराबर होता है तो द्विघात समीकरण के मूल बराबर होते हैं।

यहाँ a = 2, b = k, c = 3

इसकी तुलना 0 से करने पर,

k² – 24 = 0

k = $\displaystyle \pm \sqrt{{24}}=\pm 2\sqrt{6}$

K का मान -2√6 और 2√6 हैं।

प्रश्न 3. द्विघात बहुपद 7x² – 3x + 1 के शून्यकों का योग _______ है।

Ans –

a = 7, b = -3

शून्यकों का योग = $\displaystyle -\frac{b}{a}=-\frac{{(-3)}}{7}=\frac{3}{7}$

प्रश्न 4. द्विघात समीकरण 2x² + x – 6 = 0 को रैखिक गुणनखण्डों में खंडित कीजिए।

Ans –

हमें दिया गया हैं

2x² + x – 6 = 0

2x² + 4x – 3x – 6 = 0

2x(x + 2) -3(x + 2) = 0

(2x – 3)(x + 2) = 0

इसलिए, समीकरण 2x² + x – 6 के आवश्यक रैखिक गुणनखंड (2x – 3)(x + 2) हैं।

प्रश्न 5. द्विघात समीकरण 6x² – x – 2 = 0 के मूल ___________ है।

Ans –

हमें दिया गया हैं

6x² – x – 2 = 0

6x² – 4x + 3x – 2 = 0

2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0

(2x + 1)(3x – 2) = 0

तुलना करने पर

2x + 1 = 0 and 3x – 2 = 0

x = $\displaystyle -\frac{1}{2}$ and x = $\displaystyle \frac{2}{3}$

इसलिए, द्विघात समीकरण 6x² – x – 2 = 0 के मूल $\displaystyle -\frac{1}{2}$ और $\displaystyle \frac{2}{3}$ हैं

प्रश्न 6. K के किस मान के लिए द्विघात समीकरण x² + Kx + 4 = 0 के मूल बराबर हैं ?

Ans –

यहाँ a = 1, b = k, c = 4

इसलिए, विविक्तकर b² – 4ac = k² – 4×1×4 = k² – 16

इसकी तुलना 0 से करने पर,

k² – 16 = 0

k = ±4

K के मान -4 और 4 हैं।

प्रश्न 7. द्विघात समीकरण x² + 7x – 60 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Ans –

यहाँ a = 1, b = 7, c = -60.

इसलिए, विविक्तकर b² – 4ac = 7²– 4×1×(-60) = 49 + 240 = 289

प्रश्न 8. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मी अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 मी. है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।

Ans –

माना आयत की चौड़ाई = x मीटर

तो लंबाई (x + 4) मीटर होगी।

प्रश्न के अनुसार,

आयत का अर्ध परिमाप = लंबाई + चौड़ाई = x + 4 + x = 36

2x + 4 = 36

2x = 32

x = 16 मी.

लंबाई = x + 4 = 16 + 4 = 20 मीटर।

इसलिए, बाग की विमाएँ 20 मीटर और 16 मीटर हैं।

प्रश्न 9. निम्न द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूल का अस्तित्व हो, तो हल भी कीजिए। 2x² – 6x + 3 = 0

Ans –

मूलों की प्रकृति द्विघात समीकरण के विविक्तकर द्वारा निर्धारित की जाती है।

यहाँ a = 2, b = -6, c = 3.

इसलिए, विविक्तकर b² – 4ac = (-6)2 – 4×2×3 = 36 – 24 = 12

इसलिए, b² – 4ac > 0, दो अलग-अलग वास्तविक मूल मौजूद हैं।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना,

$\displaystyle \frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$

= $\displaystyle \frac{{-(-6)\pm \sqrt{{12}}}}{{2\times 2}}=\frac{{6\pm 2\sqrt{3}}}{4}=\frac{{2\pm \sqrt{3}}}{2}$

इसलिए दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों $\displaystyle \frac{{2+\sqrt{3}}}{2},\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$ हैं।

प्रश्न 10. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो ।

Ans –

माना कि क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।

प्रश्न के अनुसार,

x² + (x + 1)² = 365

x² + x² + 1 + 2x = 365

2x² + 2x – 364 = 0

समीकरण को 2 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

x²+ x – 182 = 0

x²+ 14x – 13x – 182 = 0

x(x + 14) – 13(x + 14) = 0

(x – 13)(x + 14) = 0

x – 13 = 0 अर्थात x = 13

x + 14 = 0 अर्थात x = -14

चूँकि हमें धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने हैं। इसलिए, x = -14 संभव नहीं है।

इसलिए, आवश्यक दो क्रमागत धनात्मक संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 11. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 37 और गुणन 300 हो।

Ans –

माना पहली संख्या x है।

तब दूसरी संख्या (37 – x) होगी

प्रश्न के अनुसार,

x(37 – x) = 300

37x – x² = 300

37x – x² – 300 = 0

x² – 37x + 300 = 0

x² – 12x – 25x + 300 = 0

x(x – 12) -25(x – 12) = 0

(x – 25)(x – 12) = 0

x – 25 = 0 x – 12 = 0

x = 25 x = 12

यदि पहली संख्या 25 है, तो दूसरी संख्या 12 होगी

इसी प्रकार, यदि पहली संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या 25 होगी

इसलिए, दो जोड़े (12, 25) और (25, 12) इस प्रकार बनाए जाते हैं कि दो संख्याएँ जिनका योग 37 है और गुणनफल 300 है।

प्रश्न 12. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

Ans –

माना पहली संख्या x है।

तब दूसरी संख्या (27 – x) होगी

प्रश्न के अनुसार,

x(27 – x) = 182

27x – x² = 182

27x – x² – 300 = 0

x² – 27x + 182= 0

x² – 13x –14x + 182 = 0

x(x – 13) -14(x – 13) = 0

(x – 14)(x – 13) = 0

x – 14 = 0 x – 13 = 0

x = 14 x = 13

यदि पहली संख्या 14 है, तो दूसरी संख्या 13 होगी

इसी प्रकार, यदि पहली संख्या 13 है, तो दूसरी संख्या 14 होगी

इसलिए, दो जोड़े (13, 14) और (14, 13) इस प्रकार बनाए जाते हैं कि दो संख्याएँ जिनका योग 27 है और गुणनफल 182 है।

प्रश्न 13. क्या एक ऐसी आयताकार आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लम्बाई, चीड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी² हो, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Ans –

माना कि आम के बाग की चौड़ाई x है।

आम के बगीचे की लंबाई 2x होगी।

आम के बगीचे का क्षेत्रफल = (2x) (x)= 2x²

2x²= 800

x²= 800/2 = 400

x² – 400 =0

दिए गए समीकरण की तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर हमें मिलता है

a = 1, b = 0, c = 400

जैसा कि हम जानते हैं, विविक्तकर = b² – 4ac

=> (0)² – 4 × (1) × ( – 400) = 1600

यहां, b² – 4ac > 0

इस प्रकार, समीकरण के वास्तविक मूल होंगे। और इसलिए, आयताकार आम की बगिया बनाना संभव है।

x² – 400 =0

x² = 400

x = ±20

जैसा कि हम जानते हैं, लंबाई का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।

अत: आम के बाग की चौड़ाई = 20 मीटर

आम के बगीचे की लंबाई = 2 × 20 = 40 मीटर होगी।

प्रश्न 14. क्या निम्न स्थिति सम्भव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल 48 था।

Ans –

मान लीजिए कि एक मित्र की वर्तमान आयु x वर्ष है।

तो, दूसरे मित्र की आयु (20 – x) वर्ष होगी।

चार वर्ष पहले,

पहले दोस्त की आयु = (x – 4) वर्ष

दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) = (16 – x) वर्ष

दिए गए प्रश्न के अनुसार, हम लिख सकते हैं,

(x – 4) (16 – x) = 48

16x – x² – 64 + 4x = 48

– x² + 20x – 112 = 0

x² – 20x + 112 = 0

समीकरण की तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर हमें मिलता है

a = 1, b = -20 and c = 112

विविक्तकर = b² – 4ac

= (-20)² – 4 × 112

= 400 – 448 = -48

b² – 4ac < 0

इसलिए, समीकरणों का कोई वास्तविक समाधान संभव नहीं होगा। इसलिए, स्थिति सम्भव नहीं है

प्रश्न 15. एक आयत की एक भुजा इसकी दूसरी भुजा से 2 से.मी. अधिक है । यदि इसका क्षेत्रफल 195 से.मी.² हो, तो आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।

Ans –

माना आयत की चौड़ाई x सेमी है।

तब, त्रिभुज की लंबाई x + 2 सेमी होगी।

प्रश्न के अनुसार,

आयत का क्षेत्रफल = x(x + 2) = 195

x² + 2x = 195

x² + 2x – 195 = 0

x² + 15x – 13x – 195 = 0

x(x + 15) – 13(x + 15) = 0

(x – 13)(x + 15) = 0

x – 13 = 0 or x + 15 = 0

x = 13 x = -15

चूँकि आयत की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।

इसलिए, x = 13 सत्य है।

अतः, आयत की आवश्यक भुजाएँ 13 सेमी और 15 सेमी हैं।

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