NCERT Class 10 Math Chapter 5 Important Question Answer in Hindi - समांतर श्रेढ़ियाँ

Class	10
Chapter	समांतर श्रेढ़ियाँ
Subject	गणित
Category	Important Questions

Class 10 Math Chapter 5 Important Question Answer in Hindi

प्रश्न 1. एक A. P. के पहले 7 पदों का योग 49 और पहले 17 पदों का योग 289 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

S₇ = 49 और S₁₇ = 289, S = ?

हम जानते हैं कि S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S₇ = $\displaystyle \frac{7}{2}$ [2a + 6d] = 49 → 2a + 6d = 14 — (i)

S₁₇ = $\displaystyle \frac{{17}}{2}$ [2a + 16d] = 289 → 2a + 16d = 34 —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

10d = 20

d = 2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 6(2) = 14

a = 1

अब,

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

= $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2×1 + (n – 1)2] = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2+ 2n – 2] = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2n] = n²

प्रश्न 2. यदि एक A. P. के पहले 6 पदों का योग 12 और पहले 10 पदों का योग 60 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

S₆ = 12 और S₁₀ = 60, S_n = ?

हम जानते हैं कि S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S₆ = $\displaystyle \frac{6}{2}$ [2a + 5d] = 12 → 2a + 5d = 4 — (i)

S₁₀ = $\displaystyle \frac{10}{2}$ [2a + 9d] = 60 → 2a + 9d = 12 —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

4d = 8

d = 2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 5(2) = 4

2a = -6

a = – 3

अब,

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

= $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2×(-3) + (n – 1)2]

= $\displaystyle \frac{n}{2}$ [ -6 + 2n – 2] = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2n – 8]

प्रश्न 3. यदि A. P. के पहले 10 पदों का योग 60 और पहले 15 पदों का योग – 165 है, तो उसके पहले n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

S₁₀ = -60 और S₁₅ = -165, S_n = ?

हम जानते हैं कि S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S₁₀= $\displaystyle \frac{10}{2}$ [2a + 9d] = -60 → 2a + 9d = -12 — (i)

S₁₅ = $\displaystyle \frac{15}{2}$ [2a + 14d] = -165 → 2a + 14d = -22 —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

5d = -10

d = -2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 9(-2) = -12

2a = 6

a = 3

अब,

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

= $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2×3 + (n – 1)(-2)]

= $\displaystyle \frac{n}{2}$ [6 – 2n + 2] = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [8 – 2n]

प्रश्न 4. किसी A.P का प्रथम पद 5 और अंतिम पद 45 तथा योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए ।

Ans –

a = 5, l = 45, S_n = 400, n = ?, d = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ (a + l)

400 = $\displaystyle \frac{n}{2}$ (5 + 45)

$\displaystyle \frac{n}{2}$ = 8

n = 16

अब, S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

400 = $\displaystyle \frac{16}{2}$ [2×5 + 15d]

50 = 10 + 15d

40 = 15d

d = $\displaystyle \frac{40}{15}$ = $\displaystyle \frac{8}{3}$

प्रश्न 5. AP 9, 17, 25, ……… के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 636 हो ?

Ans –

a = 9, d = 17 – 9 = 8, S_n= 636, n = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

636 = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2×9 + (n – 1)8]

636 = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [8n + 10]

636 = 4n² + 5n

4n² + 5n – 636 = 0

4n² + 53n – 48n – 636 = 0

n(4n – 53) – 12(4n – 53) = 0

(n – 12)(4n – 53) = 0

n = 12 or n = $\displaystyle \frac{53}{4}$

चूँकि n भिन्न में नहीं हो सकता। इसलिए, n = 12 सही है।

प्रश्न 6. A.P. 3, 15, 27, 39………. का कौन सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा ?

Ans –

a = 3, d = 15 – 3 = 12

a_n = a + (n – 1)d

a₅₄ = 3 + (54 – 1)12 = 3 + 53×12 = 639

प्रश्न के अनुसार,

हमें वह पद ज्ञात करना है जो a₅₄+ 132 यानी 639 + 132 = 771 के बराबर है

a_n = a + (n – 1)d

771 = 3 + (n – 1)12

768 = (n – 1)12

64 = n – 1

65 = n

इसलिए, A.P. का 65 वां पद 54 वें पद से 132 अधिक होगा

प्रश्न 7. A. P. 3. 8, 13, …………, 253 में अन्तिम से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Ans –

अब A.P. 253, 248, ……3 होगा।

a = 253, d = – 5, a₂₀= ?

a_n = a + (n – 1)d

a₂₀= 253 + 19(-5) = 253 – 95 = 158

अन्तिम से 20वाँ पद 158 होगा

प्रश्न 8. उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Ans –

a₃₁= ?, a₁₁= 38, a₁₆= 73

a_n = a + (n – 1)d

a₁₁= a + 10d = 38 — (i)

a₁₆= a + 15d = 73 — (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

5d = 35

d = 7

समीकरण (i) में d का मान रखने पर

a + 10×7 = 38

a = – 32

अब, a_n = a + (n – 1)d

a₃₁= – 32 + 30×7 = – 32 + 210 = 178

A. P. का 31वाँ पद 178 होगा

प्रश्न 9. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग _________ है।

Ans –

प्राकृत संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 1, 2, 3, …… n

a = 1, d = 1, S_n = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2×1 + (n – 1)1] = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [n + 1]

प्रश्न 10. पहले 50 प्राकृत संख्याओं का योग ____________ है।

Ans –

प्राकृत संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 1, 2, 3, ……

a = 1, d = 1, S₅₀ = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S₅₀ = $\displaystyle \frac{50}{2}$ [2×1 + (50 – 1)1] = 25(51) = 1275

पहले 50 प्राकृत संख्याओं का योग 1275 है।

प्रश्न 11. A. P. 1, −1, –3, –5 …………..के अगले चार पद लिखिए।

Ans –

a = 1, d = -1 – 1 = -2,

अगला पद तब आता है जब हम पिछले पद में d जोड़ते हैं।

-5 + (-2) = – 7

-7 + (-2) = -9

-9 + (-2) = – 11

-11 + (-2) = -13

इसलिए, आवश्यक अगले चार पद हैं: -7, -9, -11, -13

प्रश्न 12. A.P. 2, 7, 12, 17, …………. के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

a = 2, d = 7 – 2 = 5, S₁₀ = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S_n = $\displaystyle \frac{10}{2}$ [2×2 + (10 – 1)5] = 5[4 + 45] = 5×49 = 245

प्रश्न 13. A.P. 7, 13, 19 …………… का 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Ans –

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a₁₁ = ?

a_n = a + (n – 1)d

a₁₁= a + 10d = 7 + 10×6 = 67

प्रश्न 14. 3, 1, −1, –3, ……….A.P. का सार्व-अन्तर ज्ञात कीजिए।

Ans –

d = a₂– a₁ = 1 – 3 = – 2

प्रश्न 15. समांतर श्रेढ़ी 7, 5, 3, 1, ………… का सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Ans –

d = 5 – 7 = – 2

प्रश्न 16. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?

Ans –

7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 105, 112 …….. 994

a = 105, d = 7, a_n = 994, n = ?

a_n = a + (n – 1)d

994 = 105 + (n – 1)7

889 = (n – 1)7

127 = (n – 1)

n = 128

प्रश्न 17. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं ?

Ans –

3 से विभाज्य दो अंकों की संख्या एक A.P. बनाती है: 12, 15, ……. 99

a = 12, d = 3, a_n = 99, n = ?

a_n = a + (n – 1)d

99 = 12 + (n – 1)3

87 = (n – 1)3

29 = (n – 1)

n = 30

प्रश्न 18. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है।

Ans –

6 से विभाज्य पहले 40 धन पूर्णांक एक A.P. बनाते हैं: 6, 12, ….

a = 6, d = 6, S₄₀ = ?

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

S₄₀= $\displaystyle \frac{40}{2}$ [2×6 + (40 – 1)6] = 20[12 + 234]

= 20 × 246 = 4920

प्रश्न 19. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?

Ans –

4 के गुणज एक A.P. बनाते हैं: 12, 16, …… 248

a = 12, d = 4, a_n= 248

a_n = a + (n – 1)d

248 = 12 + (n – 1)4

236 = (n – 1)4

59 = (n – 1)

n = 60

प्रश्न 20. श्रेणी 1, 4, 7, 10, …………. के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 176 हो ?

Ans –

हमें प्राप्त होता है

Sn = 176, a = 1, d = 4 – 1= 3

n = ?

हम जानते हैं कि

S_n = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2a + (n – 1)d]

176 = $\displaystyle \frac{n}{2}$ [2 + (n – 1)3]

352 = n[3n – 1]

3n² – n – 352 = 0 (हमें दो संख्याएं ढूंढनी हैं जिनका योग – 1 है और गुणनफल – (3×352) है

3n² – 33n + 32n – 352 = 0

3n(n – 11) + 32(n – 11) = 0

(3n + 32)(n – 11) = 0

चूँकि n ऋणात्मक नहीं हो सकता।

इसलिए, n – 11= 0

n = 11

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