NCERT Class 10 Math Chapter 5 Important Question Answer in Hindi – समांतर श्रेढ़ियाँ

Class 10
Chapter  समांतर श्रेढ़ियाँ
Subject गणित
Category Important Questions

Class 10 Math Chapter 5 Important Question Answer in Hindi


प्रश्न 1. एक A. P. के पहले 7 पदों का योग 49 और पहले 17 पदों का योग 289 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

S7 = 49 और S17 = 289, S = ?

हम जानते हैं कि Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

S7 =  \displaystyle \frac{7}{2}[2a + 6d] =    49  → 2a + 6d = 14   — (i)

S17 =  \displaystyle \frac{{17}}{2}[2a + 16d] =  289   → 2a + 16d = 34  —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

10d = 20

d = 2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 6(2) = 14

a = 1

अब,

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

=  \displaystyle \frac{n}{2}[2×1 + (n – 1)2] =  \displaystyle \frac{n}{2}[2+ 2n – 2] =  \displaystyle \frac{n}{2}[2n] = n2


प्रश्न 2. यदि एक A. P. के पहले 6 पदों का योग 12 और पहले 10 पदों का योग 60 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

S6 = 12 और S10 = 60, Sn = ?

हम जानते हैं कि Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

S6 =  \displaystyle \frac{6}{2}[2a + 5d] = 12  → 2a + 5d = 4   — (i)

S10 =  \displaystyle \frac{10}{2}[2a + 9d] = 60   → 2a + 9d = 12  —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

4d = 8

d = 2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 5(2) = 4

2a = -6

a = – 3

अब,

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

=  \displaystyle \frac{n}{2}[2×(-3) + (n – 1)2]

=  \displaystyle \frac{n}{2}[ -6 + 2n – 2]     =  \displaystyle \frac{n}{2}[2n – 8]


प्रश्न 3. यदि A. P. के पहले 10 पदों का योग 60 और पहले 15 पदों का योग – 165 है, तो उसके पहले n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

हमें प्राप्त होता है

 S10 = -60 और S15 = -165, Sn = ?

हम जानते हैं कि Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

S10 =  \displaystyle \frac{10}{2}[2a + 9d] = -60   → 2a + 9d = -12   — (i)

S15 =  \displaystyle \frac{15}{2}[2a + 14d] = -165   → 2a + 14d = -22  —— (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

5d = -10

d = -2

समीकरण (i) में d का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

2a + 9(-2) = -12

2a = 6

a =  3

अब,

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

=  \displaystyle \frac{n}{2}[2×3 + (n – 1)(-2)]

=  \displaystyle \frac{n}{2}[6 – 2n + 2]     =  \displaystyle \frac{n}{2}[8 – 2n]


प्रश्न 4. किसी A.P का प्रथम पद 5 और अंतिम पद 45 तथा योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए ।

Ans –

a = 5, l = 45, Sn = 400,   n = ?, d = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}(a + l)

400 =  \displaystyle \frac{n}{2}(5 + 45)

 \displaystyle \frac{n}{2} = 8

n = 16

अब, Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

400 =  \displaystyle \frac{16}{2}[2×5 + 15d]

50 = 10 + 15d

40 = 15d

d =  \displaystyle \frac{40}{15} =  \displaystyle \frac{8}{3}


प्रश्न 5. AP 9, 17, 25, ……… के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 636 हो ?

Ans –

a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636, n = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

636 =  \displaystyle \frac{n}{2}[2×9 + (n – 1)8]

636 =  \displaystyle \frac{n}{2}[8n + 10]

636 = 4n2 + 5n

4n2 + 5n – 636 = 0

4n2 + 53n – 48n – 636 = 0

n(4n – 53) – 12(4n – 53) = 0

(n – 12)(4n – 53) = 0

n = 12 or n =  \displaystyle \frac{53}{4}

चूँकि n भिन्न में नहीं हो सकता। इसलिए, n = 12 सही है।


प्रश्न 6. A.P. 3, 15, 27, 39………. का कौन सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा ?

Ans –

a = 3, d = 15 – 3 = 12

an = a + (n – 1)d

a54 = 3 + (54 – 1)12 = 3 + 53×12 = 639

प्रश्न के अनुसार,

हमें वह पद ज्ञात करना है जो a54 + 132 यानी 639 + 132 = 771 के बराबर है

an = a + (n – 1)d

771 = 3 + (n – 1)12

768 = (n – 1)12

64 = n – 1

65 = n

इसलिए, A.P. का 65 वां पद 54 वें पद से 132 अधिक होगा


प्रश्न 7. A. P. 3. 8, 13, …………, 253 में अन्तिम से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Ans –

अब A.P. 253, 248, ……3 होगा। 

a = 253, d = – 5, a20 = ?

an = a + (n – 1)d

a20 = 253 + 19(-5) = 253 – 95 = 158

अन्तिम से 20वाँ पद 158 होगा


प्रश्न 8. उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Ans –

a31 = ?, a11 = 38, a16 = 73

an = a + (n – 1)d

a11 = a + 10d = 38   — (i)

a16 = a + 15d = 73  — (ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) घटाने पर हमें प्राप्त होता है

5d = 35

d = 7

समीकरण (i) में d का मान रखने पर

a + 10×7 = 38

a = – 32

अब, an = a + (n – 1)d

a31 = – 32 + 30×7 = – 32 + 210 = 178

A. P. का 31वाँ पद 178 होगा


प्रश्न 9. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग _________ है।

Ans –

प्राकृत संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 1, 2, 3, …… n

a = 1, d = 1, Sn = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2×1 + (n – 1)1] =  \displaystyle \frac{n}{2}[n + 1]


प्रश्न 10. पहले 50 प्राकृत संख्याओं का योग ____________ है।

Ans –

प्राकृत संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 1, 2, 3, ……

a = 1, d = 1, S50 = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

S50 =  \displaystyle \frac{50}{2}[2×1 + (50 – 1)1] = 25(51) = 1275

पहले 50 प्राकृत संख्याओं का योग 1275 है।


प्रश्न 11. A. P. 1, −1, –3, –5 …………..के अगले चार पद लिखिए।

Ans –

a = 1, d = -1 – 1 = -2,

अगला पद तब आता है जब हम पिछले पद में d जोड़ते हैं।

-5 + (-2) = – 7

-7 + (-2) = -9

-9 + (-2) = – 11

-11 + (-2) = -13

इसलिए, आवश्यक अगले चार पद हैं: -7, -9, -11, -13


प्रश्न 12. A.P. 2, 7, 12, 17, …………. के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ans –

a = 2, d = 7 – 2 = 5, S10 = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

Sn =  \displaystyle \frac{10}{2}[2×2 + (10 – 1)5] = 5[4 + 45] = 5×49 = 245


प्रश्न 13. A.P. 7, 13, 19 …………… का 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Ans –

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a11 = ?

an = a + (n – 1)d

a11 = a + 10d =  7 + 10×6 = 67


प्रश्न 14. 3, 1, −1, –3, ……….A.P. का सार्व-अन्तर ज्ञात कीजिए।

Ans – 

d = a2 – a1 = 1 – 3 = – 2


प्रश्न 15. समांतर श्रेढ़ी 7, 5, 3, 1, ………… का सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Ans –

d = 5 – 7 = – 2


प्रश्न 16. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?

Ans –

7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ एक A.P. बनाती हैं: 105, 112 …….. 994

a = 105, d = 7, an = 994, n = ?

an = a + (n – 1)d

994 = 105 + (n – 1)7

889 = (n – 1)7

127 = (n – 1)

n = 128


प्रश्न 17. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं ?

Ans –

3 से विभाज्य दो अंकों की संख्या एक A.P. बनाती है: 12, 15, ……. 99

a = 12, d = 3, an = 99, n = ?

an = a + (n – 1)d

99 = 12 + (n – 1)3

87 = (n – 1)3

29 = (n – 1)

n = 30


प्रश्न 18. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है।

Ans –

6 से विभाज्य पहले 40 धन पूर्णांक एक A.P. बनाते हैं: 6, 12, ….

a = 6, d = 6, S40 = ?

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

S40 =  \displaystyle \frac{40}{2}[2×6 + (40 – 1)6] = 20[12 + 234]

= 20 × 246 = 4920


प्रश्न 19. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?

Ans –

4 के गुणज एक A.P. बनाते हैं:  12, 16, …… 248

a = 12, d = 4, an = 248

an = a + (n – 1)d

248 = 12 + (n – 1)4

236 = (n – 1)4

59  =  (n – 1)

n = 60


प्रश्न 20. श्रेणी 1, 4, 7, 10, …………. के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 176 हो ?

Ans –

हमें प्राप्त होता है

Sn = 176, a = 1, d = 4 – 1= 3

n = ?

हम जानते हैं कि

Sn =  \displaystyle \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]

176 =  \displaystyle \frac{n}{2}[2 + (n – 1)3]

352 = n[3n – 1]

3n2 – n – 352 = 0   (हमें दो संख्याएं ढूंढनी हैं जिनका योग – 1 है और गुणनफल – (3×352) है

3n2 – 33n + 32n – 352 = 0

3n(n – 11) + 32(n – 11) = 0

(3n + 32)(n – 11) = 0

चूँकि n ऋणात्मक नहीं हो सकता।

इसलिए, n – 11= 0

n = 11


 

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